ШАД Helper. Подготовительные курсы к ШАД.
Пусть $A$ — квадратная матрица $n \times n$. Докажите, что $n-\operatorname{rk} A \geqslant \operatorname{rk} A-\operatorname{rk} A^{2}$
Сколькими способами $n$ различных четных чисел и $n$ различных нечетных чисел можно записать в таблицу $2\times n$ таким образом, чтобы нечетное число никогда не стояло под четным? Ответ должен содержать не более одной суммы.
На станцию приходят в случайное время две электрички. Времена их приходов независимы и имеют экспоненциальное распределение с плотностью $e^{-x}$ при $x>0$. Студент приходит на станцию в момент времени $2$. Найдите:
a) вероятность того, что он сможет уехать хотя бы на одной электричке;
б) математическое ожидание времени ожидания студентом ближайшей электрички (считаем, что время ожидания равно нулю, если студент опоздал на обе электрички).
Верно ли, что всякая нечетная непрерывная функция, удовлетворяющая условию $f(2x) = 2f(x)$, линейна.
Пусть $A$ и $B$ — ортогональные матрицы (не ортогональные друг другу, а просто ортогональные!). Докажите, что
$$ \det(A^TB - B^TA) =\det(A+B)\cdot \det(A-B) $$
Назовем элемент прямоугольной матрицы седлом, если он является наибольшим в своей строке и наименьшим в своем столбце или наоборот. Придумайте алгоритм, за $O(nm)$ операций находящий все седла в матрице $A[1..n][1..m]$, использующий не более $O(n+m)$ памяти и не более 1 раза обращающийся к каждому элементу A (можете считать, что элемент $A[i][j]$ превращается в NaN сразу после вызова $A[i][j]$). Считайте, что все элементы матрицы различны
В компании "Тындекс'' работает $100$ сотрудников, некоторые из них знакомы друг с другом. Докажите, что найдется такая пара из них, для которой существует хотя бы $50$ сотрудников, каждый из которых либо знаком с обоими людьми в этой паре, либо не знаком ни с одним из этой пары.
Пусть $\{\xi_n\}_{n\geqslant 1}$ — последовательность случайных величин, имеющих стандартное нормальное распределение. Сходится ли ряд?
$$ \sum_{n=1}^{\infty} P\left(\xi_n> \sqrt{2 \ln n+2 \ln \ln n}\right) $$
Что-то не так? Напишите нам на email [email protected]✌️
https://embed.notionlytics.com/s/Tm5CS09HSkJUa1ZUY1U1d09USmpiREYxYW1jPQ==